https://wiki-raamsdonk.nl/index.php?action=history&feed=atom&title=Quod_erat_demonstrandumQuod erat demonstrandum - Bewerkingsoverzicht2026-08-12T04:39:07ZBewerkingsoverzicht voor deze pagina op de wikiMediaWiki 1.43.6https://wiki-raamsdonk.nl/index.php?title=Quod_erat_demonstrandum&diff=116082&oldid=prevColani: 1 versie geïmporteerd2024-07-09T12:55:47Z<p>1 versie geïmporteerd</p>
<p><b>Nieuwe pagina</b></p><div>{{Gesproken Wikipedia klein|Nl-Quod_Erat_Demonstrandum-article.ogg|12031667}}<br />
[[Bestand:Philippe van Lansberge 1604 QED.png|thumb|right|400px|Gebruik van '''quod erat demonstrandum''' aan het eind van het stukje tekst. [[Philippus Lansbergen]], ''Goniometriae triangulorum Liber I 8'' (Hoekmeting van driehoeken, boek 1, 8), 1604]]<br />
'''Quod erat demonstrandum''' (afgekort '''q.e.d.''') is een [[Latijn]]se term die in het Nederlands kan worden vertaald met "hetgeen bewezen moest worden". De afkorting wordt vaak aan het einde van een logische redenering gebruikt, bijvoorbeeld in de [[wiskunde]] of [[filosofie]], om aan te duiden dat hetgeen men wilde bewijzen, daadwerkelijk bewezen is.<br />
<br />
== Oorsprong ==<br />
''Quod erat demonstrandum'' is een Latijnse vertaling van het Griekse {{Polytonic|ὅπερ ἔδει δεῖξαι}} (''hóper édei deiksai''; afgekort als {{Polytonic|ΟΕΔ}}), een uitdrukking die door wiskundigen als [[Euclides van Alexandrië|Euclides]]<ref>''[[Elementen van Euclides|Elementae]]'' III 4 theorema 13.</ref> en [[Archimedes]] al werd gebruikt. De doorgaans gebruikte Latijnse vertaling is van de hand van de Italiaanse [[Renaissance-humanisme|humanist]] [[Bartolomeo Zamberti]], die Euclides' ''Elementae'' vertaalde in het Latijn en in 1505 in Venetië liet drukken.<ref>{{Aut|H. Kudla}}, ''Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen'', München, 2001<sup>2</sup>, p. [https://books.google.de/books?id=2Vtf_GVrdbgC&pg=PA45 45]. Zie bijvoorbeeld op p. [https://books.google.be/books?id=lMRCAAAAcAAJ&pg=PA65 65] van de herdrukt te Basel uit 1546.</ref> De Nederlandse filosoof en wiskundige [[Baruch Spinoza|Benedictus de Spinoza]] sloot in zijn werk ''[[Ethica (Spinoza)|Ethica Ordine Geometrica demonstrata]]'' (1677) zijn bewijzen meestal af met de afkorting Q.E.D.<ref>{{Aut|H. Kudla}}, ''Lexikon der lateinischen Zitate: 3500 Originale mit deutschen Übersetzungen'', München, 2001<sup>2</sup>, p. [https://books.google.de/books?id=2Vtf_GVrdbgC&pg=PA45 45].</ref><br />
<br />
Bij gebruik van deze frase denkt men aan een opgave (bijvoorbeeld in een examen) die moet worden opgelost. <br />
:Opgave: Toon aan dat in een rechthoekige driehoek a²+b² gelijk is aan c².<br />
:Antwoord: .... en hieruit volgt dat a²+b² gelijk is aan c². Dat is wat ik moest aantonen. <br />
De laatste zin kan dan worden vervangen door q.e.d.<br />
<br />
''Quod'' betekent ''wat'', de wijs van ''demonstrandum'' is een [[gerundivum]] van verplichting (in combinatie met erat) van ''demonstrare'', aantonen. ''Erat'' is een onvoltooid verleden tijd (indicatief [[Imperfectum (Latijn)|imperfectum]] actief) van ''esse''. ''Quod erat demonstrandum'' wordt daarom vertaald als "Wat moest worden bewezen".<br />
<br />
== Alternatieven ==<br />
Tegenwoordig wordt aan het einde van een bewijs in plaats van ''q.e.d.'' ook vaak het symbool ■ of het symbool □ gebruikt. Die symbolen zijn voorgesteld door de wiskundige [[Paul Halmos]].<ref name=PHalmos>Donald E. Knuth, Tracy Larrabee & Paul M. Roberts, {{pdf}} [https://web.archive.org/web/20100827044400/http://tex.loria.fr/typographie/mathwriting.pdf ''Mathematical Writing''], pagina 11.</ref><br />
<br />
Wordt er een meetkundige constructie gevraagd, dan gebruikt men [[quod erat faciendum]] of quod erat construendum.<br />
<br />
Als grapje wordt de afkorting ook weleens uitgelegd als ''Quite Easily Done'' ("nogal makkelijk gedaan"). In Nederlandstalige wiskundige redeneringen wordt soms met een humoristische noot afsluitend of in tussentijdse lemma's weleens ''wak'' (waarheid als een koe) geschreven.<ref>Martin Kindt, {{pdf}} [http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/324/324juni_kindt.pdf ''Wat te bewijzen was''], p. 27.</ref><br />
<br />
{{Appendix}}<br />
{{Gesproken Wikipedia|Nl-Quod_Erat_Demonstrandum-article.ogg}}<br />
<br />
[[Categorie:Latijnse uitdrukking]]<br />
[[Categorie:Logica]]<br />
[[Categorie:Wiskundige schrijfwijze]]<br />
[[Categorie:Wiskundige terminologie]]</div>Colani